vẽ hình nữa nha

Xét tam giác ABC vuông tại A:

BI; IC là đường phân giác (gt).

BI cắt CI tại I (gt).

\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác góc BAC.

Tam giác ABC có BI; CI là các đường phân giác giao nhau tại I

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp

=> AI là phân giác

Xét tam giác ABC vuông tại A:

BI; IC là đường phân giác (gt).

BI cắt CI tại I (gt).

 AI là tia phân giác góc BAC.

Xét tam giác ABC có:

IB là phân giác `hat{B}`

IC là phân giác `hat{C}`

`=>` I là giao điểm 2 đường pg.

`=>` AI là phân giác `hat{A}`

Kẻ KD vuông góc AB, KE vuông góc BC, KF vuông góc AC

Xét ΔADK vuông tại D và ΔAFK vuông tại F có

AK chug

góc DAK=góc FAK

=>ΔADK=ΔAFK

=>KD=KF

Xét ΔCFK vuông tại F và ΔCEK vuông tại E có

CK chung

góc FCK=góc ECK

=>ΔCFK=ΔCEK

=>FK=EK=DK

=>K nằm trên tia phân giác của góc ABC

=>BK là phân giác của góc ABC

Bạn đổi điểm K thành điểm M là xong nha

Kẻ IG,IK,IH lần lượt vuông góc với AB,BC,AC

Kẻ MO,MD,ME lần lượt vuông góc với AB,BC,AC

Xét ΔBKI vuông tại K và ΔBGI vuông tại G có

BI chung

góc KBI=góc GBI

Do đó: ΔBKI=ΔBGI

Suy ra: IK=IG(1)

Xét ΔCKI vuông tại K và ΔCHI vuông tại H có

CI chung

góc KCI=góc HCI

Do dó: ΔCKI=ΔCHI

Suy ra: IK=IH(2)

Từ (1) và (2) suy ra IG=IH

mà I nằm trong ΔABC và IG,IH là các đường cao ứng với các cạnh AB,AC

nên AI là phân giác của góc BAC(3)

Xét ΔBOM vuông tại O và ΔBDM vuông tại D có

BM chung

góc OBM=góc DBM

Do đó: ΔBOM=ΔBDM

Suy ra: MO=MD(4)

Xét ΔMDC vuông tại D và ΔMEC vuông tại E có

CM chung

góc DCM=góc ECM

Do đó: ΔMDC=ΔMEC

Suy ra: MD=ME(5)

Từ (4) và (5) suy ra MO=ME

mà M nằm ngoài ΔABC và MO,ME là các đường cao ứng với các cạnh AB,AC

nên AM là phân giác của góc BAC(6)

Từ (3) và (6) suy ra A,I,M thẳng hàng

Kẻ IH ⊥ AB, IJ ⊥ BC, IG ⊥ AC, KD ⊥ AB, KE ⊥ AC, KF ⊥ BC

Vì I nằm trên tia phân giác của ∠(BAC) nên IH = IG (tính chất tia phân giác)

Vì I nằm trên tia phân giác của ∠(BCA) nên IJ = IG (tính chất tia phân giác)

Suy ra: IH = IJ

Do đó I nằm trên tia phân giác của ∠(ABC) (1)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(DAC) nên KD = KE (tính chất tia phân giác)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(ACF) nên KE = KF (tính chất tia phân giác)

Suy ra: KD = KF

Do đó K nằm trên tia phân giác của ∠(ABC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: B, I, K thẳng hàng.

Lời giải:

Kẻ $KM, KT, KN$ lần lượt vuông góc với $AB, AC, BC$.

Vì $K$ thuộc tia phân giác $\widehat{MAC}$ nên $KM=KT$ (tính chất quen thuộc)

Vì $K$ thuộc tia phân giác $\widheat{ACN}$ nên $KN=KT$ 

$\Rightarrow KM=KN$ 

$\Rightarrow K$ thuộc tia phân giác $\widehat{MBN}$ hay $\widehat{ABC}$

Do đó $BI, BK$ cùng là tia phân giác $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow B,I,K$ thẳng hàng

Hình vẽ: